In this paper we study the Nil geometry that is one of the eight homogeneous Thurston 3-geometries. We determine the equation of the translation-like bisector surface of any two points. We prove, that the isosceles property of a translation triangle is not equivalent to two angles of the triangle being equal and that the triangle inequalities do not remain valid for translation triangles in general. We develop a method to determine the centre and the radius of the circumscribed translation sphere of a given translation tetrahedron. A further aim of this paper is to study lattice-like coverings with congruent translation balls in Nil space. We introduce the notion of the density of the considered coverings and give upper estimate to it using the radius and the volume of the circumscribed translation sphere of a given translation tetrahedron. The found minimal upper bound density of the translation ball coverings $\Delta \approx 1.42783$. In our work we will use for computations and visualizations the projective model of Nil described by E. Molnár in [6].; U radu proučavamo jednu od osam homogenih Thurstonovih 3-geometrija, Nil geometriju. Određujemo jednadžbu translacijske simetralne plohe za bilo koje dvije točke. Dokazujemo da činjenica da je trokut jednakokračan nije ekvivalentna činjenici da trokut ima dva jednaka kuta, te da općenito nejednakosti trokuta ne vrijede za translacijske trokute. Razvijamo metodu za određivanje središta i polumjera opisane translacijske sfere danog translacijskog tetraedra. Daljnji je cilj ovog rada proučavanje rešetkastih pokrivanja kongruentnim translacijskim kuglama u Nil prostoru. Uvodimo pojam gustoće promatranog pokrivanja i dajemo njezinu gornju procjenu pomoću polumjera i obujma opisane translacijske sfere danog translacijskog tetraedra. Pokazujemo da je gornja granica pokrivanja translacijskim kuglama $\Delta \approx 1.42783$. U radu koristimo izračune i vizualizaciju projektivnog modela Nil prostora opisane u radu [6] E. Molnára.